一道抛物线定直线问题的再探究

351100     福建省莆田第五中学   郑剑晖

《数学通讯》2014年第5、6期（上半月）文【1】由2014年《福建省高考“集结号”最后冲刺模拟卷》中的一道压轴题给出了抛物线焦点与准线的关联性质及推广，即结论1、2、3、4，并发现了抛物线另一优美性质，即结论5、6. 读后颇受启发，但觉意犹未尽.本文拟对这些结论进行推广，并进一步探究抛物线在这一相同条件下的另一些优美性质. 先把结论1~6抄录如下：

 已知点A、B为抛物线C：上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，直线、分别过点A、B且与抛物线C相切，点P为直线、的交点.                          

结论1 若直线AB过抛物线C的焦点F，则动点在抛物线C的准线上.

结论2 若动点在抛物线C的准线上. 则直线AB过抛物线C的焦点F，

结论3 若直线AB过定点则动点在定直线上.

结论4若动点在定直线上， 则直线AB过定点

结论5若直线AB过抛物线C的焦点F，则以AB为直径的圆过点P

结论6 若以AB为直径的圆过点P，则直线AB过抛物线C的焦点F.

以上结论揭示了抛物线C的焦点与准线、类焦点与类准线的关联性质，下面对以上性质进行推广和再探究.

一、再探究1：探究结论的推广

上述结论1、2分别是结论3、4的特殊情况，而结论3与结论4、结论5与结论6互为逆命题 .能否把结论3、4，结论5、6推广到更一般的情形？

 先看结论3、4，若把其中直线AB所过的“定点”推广为“定点”，那么动点是否在某定直线上？

设动点( ,)，则切点弦所在直线的方程为  . 若直线过定点，则有，即这表明动点（ ,)在定直线上； 反之，若点 ,)在定直线 (在抛物线外部（不含焦点的区域）的部分）上，则有  即.代人直线的方程，得，即这表明直线过定点.由此可把结论3、4推广为：

已知点A、B为抛物线C：上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，直线、分别过点A、B且与抛物线C相切，点P为直线、的交点.     

结论7 若直线AB过定点，则动点在定直线上. 结论8 若动点在定直线上,则直线AB过定点

特别地，当时，结论7、8分别为结论3、4.

对于结论5、6 ，其中“以AB为直径的圆过点P”，即两切线、的斜率满足.若把其中直线AB所过的“焦点F”推广为“类焦点”，那么两切线、的斜率应满足什么条件？

设则切线、的方程分别为 则. 若直线AB过定点当直线AB不与轴垂直即时，直线、的斜率、相等，即亦即.整理得即则.当直线AB与轴垂直即时，得则；反之，若，把之代入，得，即 当直线AB不与轴垂直即时，

，由此可得A、Q、B三点共线，即直线AB过定点. 当直线AB与轴垂直即时，可得直线AB也过定点.综上，可把结论5、6推广为：

  已知点A、B为抛物线C：上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，直线、分别过点A、B且与抛物线C相切，点P为直线、的交点.

结论9  若直线AB过定点，则两切线、的斜率满足.

结论10 若两切线、的斜率满足，则直线AB过定点

特别地，当时，结论9、10分别为结论5、6.

二、再探究2： 探究新结论

在上述结论的条件下，抛物线C还具有哪些优美的性质？经探究，抛物线C还具有如下一些优美的性质：

  已知点A、B为抛物线C：上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限，直线、分别过点A、B且与抛物线C相切，点P为直线、的交点.

结论11 若直线AB过抛物线C的焦点F，则分别以PA、PB为直径的圆均过抛物线C的焦点F.

结论12 若分别以PA、PB为直径的圆均过抛物线C的焦点F，则直线AB过抛物线C的焦点F.

结论13 若直线AB过定点，且直线AB、PQ的斜率均存在，则

结论14 若且直线AB、PQ的斜率均存在，且，则直线AB过定点

结论15 若直线AB过定点，且直线、PQ、的斜率均存在，则成等差数列,即.

结论16若直线、PQ、的斜率均存在且成等差数列,即，则直线AB过定点.

显然，结论11、12是结论13、14的特殊情况，下面只证明结论13、14、15、16.

证明设则切线、的方程分别为两式相减，得，由此可得代入切线的方程即可得,则于是又则

，

若直线AB过定点，且不与轴垂直即时，直线、的斜率、相等，即亦即.整理得即则，即.

当直线AB与轴垂直即时，得则，即；

反之，若代入得解得，即 由存在知直线AB不与轴垂直即，则

，由此可得A、Q、B三点共线，即直线AB过定点.

若， 即当直线AB不与轴垂直即时，，可解得，即 同上可得，A、Q、B三点共线，即直线AB过定点；当直线AB与轴垂直即时，可得直线AB也过定点.这就证明了结论13、14、15、16.：

至此，我们完成了对文【1】的结论的推广和再发现.

参考文献

【1】卓文隆.一道抛物线定直线问题的推广.数学通讯，2014（5、6）（上半月）.